如果將三角形一分為二，各自做出外接圓，會出現什麼有趣關係？這個好奇開啟了歷時兩年鑽研兩共邊三角形外接圓各種關係的探究之旅，透過GeoGebra的輔助，經由(1)觀察圖形及數據形成猜想(2)幾何論證猜想為真的歷程，獲得許多奇特驚喜的發現。 我們探討兩共邊三角形外接圓的圓心位置、半徑、半徑和及連心線的關係，發現並證明出等腰三角形中兩外接圓圓心位置具特殊性、半徑和與連心線的長度都跟動點D的x坐標呈現函數關係且圖形為雙曲線的一支；據此討論出兩外接圓面積和與原三角形外接圓面積關係，同時發現∆AO1O2～∆ABC且AO1OO2四點共圓。在研究連心線時也發現，當動點D移動時，連心線的中點形成一條直線；每條連心線皆與以頂點A為焦點，BC邊為準線的拋物線相切。最後得出若任意∆ABC的頂點A到底邊的距離相等，連心線所包絡出的拋物線皆全等。