TISF 2021

本研究旨在探討歐德斯猜想的特例解型態及其解數，並將其推廣至任意解，嘗試證明歐德斯猜想。以a=b, b=c切入討論歐德斯猜想特例解型態，證明無此形式特例解的正整數n必為∏_(i=1)^(ω(n))▒〖(4m_i+1)^(k_i ) 〗 (∀m_i∈N，4m_i+1∈P)。透過上述證明，推測n質因數分解後的次方與其解的數量有密切關係，藉此推導出a=b, b=c型態可行解的數量。藉由前述證明所使用的想法，我們將其推廣至任意解以嘗試證明歐德斯猜想。相比前人揀選特例解進行無系統的研究，且只對解的數量進行概略分析，本研究以系統性的方式對各種可能進行研究，並精確地計算出特例解的解數，而非前人所研究的解數的範圍，使先前較無規律的可行解數得以部分解決。

前作「建構邊長為整數的圓內接多邊形」中，我建構了多種兩種相異整數邊長的圓內接多邊形的一般式。我利用n倍角公式，建構三種以上相異整數邊長且外接圓半徑亦為整數的圓內接多邊形。 本研究依正整數的分割數將圓內接多邊形分類。除了正多邊形之外，6類圓內接五邊形、10類圓內接六邊形、14類圓內接七邊形。利用n倍角公式，取畢氏三元數做變數變換，做出所有類型的圓內接多邊形。另外在建構圓內接八邊形、九邊形與十邊形時，我考慮建構邊長相異且其中一邊為外接圓直徑的圓內接四邊形、圓內接五邊形與圓內接六邊形...等，將上述圖形做適當的伸縮與組合，即可以建構邊長為皆相異的整數的圓內接n邊形。研究過程也發現可用同一組一般式建構不同的圓內接多邊形。最後推得各類非等邊長且外接圓半徑亦為整數的圓內接多邊形皆可尺規作圖。

(以作品說明書的摘要為主) 從參考資料1可知，將n+2邊形剖分成n個三角形的圖形數量即為卡特蘭數。而我利用不相交的對角線把n+2邊形剖分成數個多邊形和三角形的組合，並從此類的剖分圖形與三角剖分圖形之關聯，進而由卡特蘭數的一般式推導出此類剖分圖形數量的一般式。在本研究中可得，若到把n+2邊形剖分成一個k+2邊形和多個三角形的剖分圖形數量是C2n-k+1取n+1；把n+2邊形剖分成一個k+2邊形、一個m+2邊形和多個三角形的剖分圖形數量，當m不等於k時為(n+2)C2n-k-m+2取n+2 ，當m=k時為[(n+2)C2n-k-m+2取n+2]/2；把n+2邊形剖分成一個k1+2邊形、一個k2+2邊形、一個k3+2邊形、和n-k1-k2-k3個三角形的剖分圖形數量，當k1,k2,k3兩兩相異時，數量為(n+2)(n+3)C2n-k1-k2-k3+3取n+3。並猜測若k1,k2,...,ki兩兩相異時，把n+2邊形剖分成一個k1+2邊形、一個k2+2邊形、…、一個ki+2邊形、和多個三角形的剖分圖形數量為(n+i)!*C2n-k1-k2-...-ki+i取n+i。接多邊形

在理想狀態下，由一個圓形且開口面平行於地面的水龍頭開口中流出的水 柱 會呈現 一以 𝑧 軸對稱、切面積往 𝑧 軸負向遞減的圓形疊合曲面。此曲面形狀受到下列三種物 理量值影響： 一、水流在水龍頭開口瞬間速度 在此稱之為初速度 𝑣0 二、水龍頭圓形開口半徑 在此稱為初半徑 𝑟0 三、重力加速度 𝑔 為了更清楚瞭解此曲面性質及在不同狀況下 三種物理量值改變情況下 對曲面的影 響，故提出下列問題在研究中探討： 一、這 三種物理量值 對曲面形狀的影響為何？ 二、這 三種物理量值 對曲面曲率影響為何？

An isosceles set is a collection of points in which any subset of three points forms an isosceles triangle. We want to find the upper bound for the size of isosceles sets in any n-dimensional Euclidean space. Kidohas already completed the study of isosceles sets in 3 and 4-dimensional space. We study the upper bound of spherical two-distance sets, a special type of isosceles sets, to help us find the upper bound of isosceles sets. More specifically, Musin’s Linear Programming technique on spherical two-distance sets could be used to study isosceles sets if a consistent relationship between isosceles sets and two-distance sets can be characterized. We offer a conjecture of this relationship. We also offer non-trivial lower bounds of isosceles sets in dimension 5 with 17 points and dimension 7 with 30 pointsas examples.

研究利用頂點圖探討三維空間中的正多面體及四維空間中的正多胞體圖形有幾種，並推廣至 維空間。四維空間中的正多胞體是用三維正多面體的圖形所堆疊出來，因此我們透過三維空間中的正多面體頂點圖探討四維空間中的正多胞體有幾種，進而推廣至 維空間。本研究透過遞迴式及數學歸納法探討 維空間中正多胞體（單純形、超方形、正軸形）之點、線、面的一般化結果。本研究利用代數及幾何的方式探討二維平面及三維立體圖形的保距變換方式，再利用頂點圖及線性變換－行列式的方式去探討四維空間中正多胞體的保距變換有幾種，並推廣至n維使其一般化，另外，本研究也嘗試透過特徵值，特徵向量及隸美弗定理分析凸正多胞體旋轉之旋轉角度。

本研究保持社交距離為發想，探討從一維到多維空間的支配數。我們從使得三個同色單位方格不相連的二維情況，拓展至m個同色單位方格不相連的一維、二維、三維情況。本研究從The Domination Number of Grids這篇論文中汲取靈感，其中”Domination Number”也是「支配數」此名詞的由來。我們定義L_nt={(x_1,x_2,…,x_n)|x_1+x_2+⋯+x_n≡t (mod m),x_1∈[1,l_1 ],x_2∈[1,l_2 ],……,x_n∈[1,l_n ]}，此處的l_n是邊長。對於一維情形的任意m，其支配數|A_1m |=⌊l_1/m⌋；對於二維情形且m=3時，我們經由列舉和畫圖證明其支配數|A_2 |=⌊(l_1 l_2)/3⌋。同樣的二維和三維情況在m=任意數時的支配數也可求得，不過在此我們改變了研究的方法，我們應用集合與同餘進行運算，除了減少窮舉將花費的時間，也可一次討論m=任意數的情況。

2001 年 Larry Hoehn 提出了 △𝐴𝐵𝐶 的三個旁接三角形的西瓦線之共點性質，近年的 相關研究都是探討邊上作正方形或矩形而構造三個旁接三角形。本研究不限於直角，創新 探討角度一般化情形。考慮以 △𝐴𝐵𝐶 頂點為旋轉中心，將三邊分別旋轉實數 𝜑 後，構造 出可變動的三個旁接三角形。我們發現可變動的三條外中線交於一點、三條外高交於一 點、三條外中垂線交於一點。我們先探討前述三個動點的軌跡，發現著名的 Kiepert 雙曲 線，本研究為 Kiepert 雙曲線的新構造法。接續研究任選兩點所構成的直線性質，有趣的 是，外高交點與外中垂線交點連線恆通過重心；外高交點與外中線交點連線恆通過九點圓 圓心，我們給出共線三點的有向線段比例常數。最後，我們再探討角度與長度同時可變動 的三個外西瓦線共點情形。

本研究試圖找出一些策略，以了解在 的格狀街道中，最少應該放入幾個吸螞蟻的裝置，便保證能抓到所有螞蟻。這問題等價於在圖 中，最少應放入幾個紅點後，便能使 中得所有環都能碰到至少一個紅點。更等價於在圖 中，最少應扣除幾個點後，便可形成一森林。 我們將這些點數記作 。特別地，當 時記作 。本文推得： ，並將等號成立時的 稱為完美的。經過構造後發現 、 、 、 亦為完美的，而且在無限擴張的格子圖中被移除點的密度為 。

平面上，P點為△ABC內部任意一點，AP、BP、CP分別交△BPC、△CPA、△APB這三個三角形的外接圓於A’、B’、C’。若△ABC為銳角三角形，則 (PA’/PA)·(PB’/PB)·(PC’/PC) >=8，等號成立時若且唯若△ABC為正三角形，此外，並以三角形的三內角來表示P點為費馬點、外心、內心、垂心、重心時的確切比值；接下來推廣至n維空間，當P為任意n+1單體A1…An+1內任意一點，A1P、A2P、…、An+1P分別與P-A2…An+1、P-A1A3…An+1、…、P-A1A2…An的外接n-1維球面交於A1’、A2’、…、An+1，滿足Π_k=1~n+1 PAk’/Pak >= n^{n+1}，等號成立時若且唯若 PAk’/PAk=n，k=1~n+1，其中n>=2。再藉由任意點的結論，可以應用於直接生成許多特殊類型的三角函數不等式。此外，從主要的不等式還可以得到Σ_k=1～n+1 AkP/AkAk’=1，此時P為n維空間中任意一點，最後，我們把圓改為圓錐曲線，再進行線段比值的探討。

本研究由科教館的網站上科學研習月刊第54卷第3期探索數學專欄─「周休二日」進行發想。我們進行一般化的問題描述：假如在連假k天當中，任意連續m天之中，剛好要讀n天書，則在連假k天當中的讀書日最多有幾天？以及最少有幾天？本研究嘗試從相關文獻帶入原來的題目規則中，延伸至二維空間並找到其應用，卻意外地發現它其實是一個集合覆蓋的問題，且具有週期性現象。於是，我們便著手進行將一維問題延伸至平面上格子點，以期能提出最佳化的結果，並找出其規律。

隨機漫步是數學、物理學、化學、經濟學上常需要涉及和探討的問題，其中探討回到原點的方法數和機率是常見的研究方向。本研究嘗試列出不同維度之間回到原點的方法數遞迴關係，發現不同維度移動相同次數時，回到原點方法數為特定的多項式。 參考了文獻Counting Abelian Squares後，本研究證明了特殊的對應關係，得到了多維空間中回到原點方法數的漸近式。儘管並沒有直接以其他較困難的數學探討方法計算，但依據本研究之結論，已可算出多維度下回到原點之方法數 至於在有限空間中回到原點的方法數，本研究僅完成二維平面下，超出邊界不同次數各種情況的討論，並經由程式檢驗公式的正確性。

b進位的n位數字x，數字x各位數字由大到小排列為p，由小到大排列為q，定義Kaprekar變換T(b,n)(x)=p-q，例如T(10,3)(x)= 954-459。當T(b,n)(x)= x，稱x為Kaprekar常數。 Tk(b,n)( x)=T(b,n)( Tk-1(b,n)( x))= x, k >1時，稱x為k階Kaprekar循環數。本文解答了以下問題： b進位的數字不包含數字b-1的Kaprekar常數的形式。 3,4,5,6進位的Kaprekar常數的一般形式。 對於2,3進位的情形，我們引入三元非負整數的形式來討論Kaprekar變換，轉換成Kaprekar數對(p,q)，再進一步，由來探討比值p/q，將Kaprekar變換轉成Kaprekar函數g(x)，解決 Kaprekar 循環數的所有形式及解。 最後我們得到Tl(b,n)( x)必是Kaprekar循環數。

本研究從原始畢氏數組數函數探討質數在整數間的分布密度，我利用質因數個數、通式、座標軸上面積導出原始畢氏數組數函數(最小數字不大於自變數的原始畢氏數組數，我視(A,B,C)和(B,A,C)為相同的原始畢氏數)，參考其他文獻之後，我得到組數函數可以寫成以下形式: f(x)=c∙x∙ln⁡x+O(x) c∈R， 此推測將在此研究中進行證明。因此我可以依此計算π函數近似值，在進行初步計算後，我亦利用差分法算出較為準確的c值，並以此c值估算更為準確的π函數近似值。

在三角形的外接圓上取一點，作其對三角形三邊的垂足，此時這三個垂足會共線，稱為西姆松線。本研究主要探討的問題為：當三角形以其外心旋轉 180度時 (我們稱之為對徑三角形)，將此外接圓上一動點P對兩對徑三角形分別做西姆松線，我們想研究當P點在外接圓上轉動時，兩西姆松線的交點軌跡為何。我們將西姆松線放在複數平面上來分析，這兩條西姆松線會互相垂直，並且它們的交點軌跡為一橢圓。此橢圓會相切於兩對徑三角形的六條邊，因此我們將此橢圓稱作這兩對徑三角形的「六點橢圓」，並探討這個橢圓的性質。

在比賽時看到許多選手，雖然本身實力不差，卻因為賽制的編排而無緣晉級決賽，因此本研究透過數學分析單淘汰賽（可以很快的找出勝負）、單循環賽（大部分是使用在人數較少時，但是每位選手都會交手到）、雙淘汰賽（可以讓選手有輸一次的機會，選手就算輸一場還是有機會得到冠軍）、循環賽（主辦單位會融合單淘汰賽、單循環賽、雙淘汰賽來衍生出新的賽制），可以選出與實力相當的前三名（準確找出前三名）機率，並且將所有機率加以比較，分析出何種賽制準確找出前三名的機率最高，並且利用比較後的解果，製作一個新的賽程。經過分析得到混和賽的機率與單淘汰賽差不多，但考慮場次的使用並沒有優於單淘汰賽，因此並未符合主辦單位採用此種賽程的依據。但雙淘汰賽卻相反，機率偏高且使用的場次適中，符合主辦單位採用的依據。

本研究主要提出新的圓錐曲線製造法。首先，我們利用兩個全等三角形製造兩個線束，來討論基線夾角與線束中心在平面上的相對位置，用以製造各式的二次曲線。接著，分別在五條等距平行線上取點，固定其中四點為梯形，分類第五個點的位置來對應生成不同的圓錐曲線。然後，簡化為共線的四個點A1,A2,A3,A4，往線外一點B0投射，滿足向量BkB0=k倍向量B0Ak，k=1,2,3,4，依向量A1A2,A2A3,A3A4的不同比例，來分類Bk生成的二次曲線。特別的是，由此得到兩個特別的應用：一、得到一個過圓錐曲線中心線段的比例，只要給定A1,A2,B0三點即可快速尺規作圖得到中心；二、新的拋物線切線的尺規作圖法。最後，我們定義了三線束特定的對應方式，得到六個對應點共橢圓的性質，以及分類了兩個基圓上點與點的角度與圓心的相對位置，用以製造各式的二次曲線。未來，我們希望能定量化我們的結果，以及探討更多個線束的對應。

從平面上與法里數列(Farey sequence)相關的福特圓(Ford circles)已知的性質開始，推廣到空間中，希望在空間中找到適當的球心，使得這些點以z座標為半徑所形成的球面會類似平面中的福特圓互相相切。在推廣後，發現空間中的福特球球心、半徑也有特殊數列，並且與切比雪夫多項式(Chebyshev polynomials)有特殊的關係。也發現在空間中的福特球有別於平面上的福特圓，福特圓以衍生的方式不會衍生出相同的圓，但福特球會。福特球方向比較多元，本研究中針對同一方向衍生的球有較深入的研究，並發現在經過無限次的衍生後會收斂在一點。

本文先針對直線外的兩定點A、B，探討△ABP的尤拉線平行AB的公式解，並找到了漂亮的判斷公式4ab/h^2 ，過程中用到K函數曲線凹性判定及此曲線的最小值N和3的比較，提供是否有解的依據。在確定尤拉線平行AP、BP的存在性及解的公式後，發現最多有三解。 對於前文的P點解，為讓使用者有實實在在的尺規作圖操作感，作者利用前文發現的一系列定理分別設計了能平行AB、AP、BP專用的兩條直線，當使用者分別在那兩條線上任取A點和B點之後，都可用尺規作圖找到P點，甚是有趣。 針對首段的P點解，兩平行線的交角為0°，作者推廣至△ABP的尤拉線和AB達成交角為指定角(不只是平行)的作圖方法。 在△平面上的分割點P的探討中，作者發現恆不存在能使各子△尤拉線平行各邊的分割點；但在五邊形中卻存在這種分割點，其條件是各邊用定理一畫出的橢圓需共點。

圓內接四邊形有一個幾何定理：若圓內接四邊形的兩對角線相互垂直，則連接對角線交點與一邊垂足點的連線過對邊的中點，稱為婆羅摩笈多定理。 本作品我們嘗試將圓內接四邊形推廣至圓錐曲線內接四邊形的情形，定義其多邊形中若滿足「連接兩垂直對角線交點與一邊垂足點的連線過對邊的中點，同時連接同一邊中點的連線垂直於對邊」，則稱此多邊形為婆羅摩笈多多邊形。 首先利用兩圓關係建構婆羅摩笈多四邊形，接著探討圓內接正多邊形中的婆羅摩笈多多邊形，由建構原則或關鍵角度推導出其邊數及共圓性質。其次，探討在橢圓內接菱形、鳶形及正方形中是否存在婆羅摩笈多定理，再推廣至橢圓內接多邊形的情形。最後利用圓錐曲線直徑性質推導出拋物線內接四邊形作圖，再由拋物線內接四邊形作圖推導出圓錐曲線內接四邊形的幾何性質。

象棋的馬與西洋棋的騎士走法有異曲同工之妙且棋子的走法似乎有些特殊的規律，兩者的走法我們稱為同構，因此我們針對這個現象進行研究。我們得到下面四個結論：一、定理甲：動點P可經由馬步從原點(0,0)走到棋盤上的任意格子點。二、定理乙：平面棋盤的馬步路徑皆可找到起點、終點在同一象限(含軸)，且步數相同的路徑。三、定理丙：每一個最少步數K≥5，K所對應的總格子數f(K)，數列為公差7的等差數列。四、定理丁：給定第一象限(含軸)任意點P(X,Y)，可求得最少步數K。

本研究分析在科技網路使用時代，人們快速傳遞訊息的可能界線。本研究在此主要討論以一個個社群網頁(或智慧型手持行動上網裝置)為節點分析。研究由一個上網裝置到另一個上網裝置的訊息傳遞模式。當有訊息要分享給大家知道時，只要在當中的一個節點分享就可將訊息傳出。此時若別人在你的網路上也表示互動，將可持續傳達，讓訊息持續傳遞。本研究以圖論方法來建模分析，以矩陣的表示方式，求出測量不同節點訊息傳遞假設下對網路傳播範圍的關係式。